Математический анализ Примеры

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Этап 1

Пусть $v = y^{3}$ . Подставим $v$ вместо $y^{3}$ для всех.

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Этап 4

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $v$ из $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Этап 4.2

Изменим порядок $v$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Этап 5

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 5.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 6

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Этап 7

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Этап 8

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Этап 9

Проинтегрируем левую часть.

$x v = \int x^{5} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Этап 11

Разделим каждый член $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ на $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 11.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.1.2.5

Разделим $\frac{1}{6} x^{5}$ на $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Этап 11.3.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Этап 12

Заменим все вхождения $v$ на $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Этап 13

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Этап 13.2

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Чтобы записать $\frac{x^{5}}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $\frac{C}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Этап 13.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Умножим $\frac{x^{5}}{6}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Этап 13.2.3.2

Умножим $\frac{C}{x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Этап 13.2.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Этап 13.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Этап 13.2.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Этап 13.2.5.1.2

Добавим $5$ и $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Этап 13.2.5.2

Перенесем $6$ влево от $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Этап 13.2.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Этап 13.2.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Этап 13.2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Этап 13.2.8.2

Возведем $\sqrt[3]{6 x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Этап 13.2.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Этап 13.2.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Этап 13.2.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ в виде $6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{6 x}$ в виде ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 13.2.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 13.2.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 13.2.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 13.2.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Этап 13.2.8.5.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Этап 13.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Этап 13.2.9.2

Применим правило умножения к $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Этап 13.2.9.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Этап 13.2.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Этап 13.2.11

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Этап 14

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$