Математический анализ Примеры

$x y^{2} d x + e^{x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} d y = - x y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{x} y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{2})} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{x} y^{2}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{x} y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} e^{x}} (y^{2} x) d x$

Этап 3.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{- 1}{e^{x}}$ и $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x e^{- x} d x$

Этап 4.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Этап 4.3.6

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.3.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 4.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Этап 4.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Этап 4.3.9

Перепишем $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ в виде $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Этап 4.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.3.11.2

Умножим $- (- x e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.3.11.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.3.11.3

Умножим $- - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.3.11.3.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.3.12

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = e^{- x} x + e^{- x} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x y + e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$ .

$x y e^{- x} + y e^{- x} + K y = - 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{- x} + y e^{- x} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y e^{- x} + K y = - 1$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- x}$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + K y = - 1$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (x e^{- x}) + y (e^{- x}) + y K = - 1$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{- x}) + y (e^{- x})$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K = - 1$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{- x} + e^{- x}) + y K$ .

$y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ на $x e^{- x} + e^{- x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y (x e^{- x} + e^{- x} + K) = - 1$ на $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x e^{- x} + e^{- x} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x e^{- x} + e^{- x} + K)}{x e^{- x} + e^{- x} + K} = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x e^{- x} + e^{- x} + K}$