Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} \cos (4 x)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} \cos (4 x)}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} \cos (4 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x^{1}}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} \cos (4 x))}{x \cdot 1}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} \cos (4 x)}{1}$

Этап 1.3.2.5

Разделим $x^{2} \cos (4 x)$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} \cos (4 x)$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} \cos (4 x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (4 x)))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (4 x))$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (4 x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (4 x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (4 x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (4 x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 7.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 7.1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 7.2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 7.4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Этап 7.5

Упростим.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.6

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{4} \sin (4 x) + C$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (4 x)$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \frac{\sin (4 x)}{4} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\frac{\sin (4 x)}{4} + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\sin (4 x)}{4} x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.2

Объединим $\frac{\sin (4 x)}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (4 x) x^{2}}{4} + C x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + C x^{2}$

Этап 8.4.2.1.3.2

Изменим порядок $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x)}{4}$