Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{x - y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ для всех.

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Этап 5.1.1.2

Объединим противоположные члены в $1 + 6 x v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Этап 5.1.1.2.2

Добавим $6 x v$ и $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Этап 5.1.2

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Этап 5.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Этап 5.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (6 x v)$ в виде $- (6 x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Этап 5.1.2.3.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Этап 5.1.3

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Этап 5.1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Этап 5.1.4.2.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Этап 5.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Этап 5.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем $v^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Этап 6.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $v^{- 2}$ по $v$ имеет вид $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Этап 6.2.3

Перепишем $- v^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Этап 6.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Этап 6.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 6.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перепишем $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v, 1, 1$

Этап 7.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$v$

Этап 7.2

Каждый член в $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ умножим на $v$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ на $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Этап 7.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Этап 7.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ .

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $v$ из $- 3 x^{2} v + K v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $- 3 x^{2} v$ .

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Этап 7.3.2.2

Вынесем множитель $v$ из $K v$ .

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Этап 7.3.2.3

Вынесем множитель $v$ из $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ .

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Этап 7.3.3

Разделим каждый член $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ на $- 3 x^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ на $- 3 x^{2} + K$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Этап 7.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3 x^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Этап 7.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Этап 7.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Этап 7.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Этап 7.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Этап 7.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.5.1

Перепишем $- (3 x^{2} - K)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - K)$ .

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Этап 7.3.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Этап 7.3.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Этап 7.3.3.3.5.4

Умножим $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ на $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Этап 8

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{x - y})$ , вынося $x - y$ из логарифма.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Этап 10.2.3

Умножим $x - y$ на $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Этап 10.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Этап 10.4

Разделим каждый член $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разделим каждый член $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 10.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 10.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Этап 10.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Этап 10.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ в виде $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Этап 10.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Этап 10.4.3.1.4

Разделим $x$ на $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$