Математический анализ Примеры

$d x - x^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (- x^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- y + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$- y + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- y = \frac{1}{x} + K$

Этап 5

Разделим каждый член $- y = \frac{1}{x} + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y = \frac{1}{x} + K$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{x}$ в виде $- \frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x} + \frac{K}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - \frac{1}{x} - 1 \cdot K$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$y = - \frac{1}{x} - K$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1}{x} + K$