Математический анализ Примеры

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $3 y d x$ из обеих частей уравнения.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.3.4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Объединим $\ln (| 2 x + 1 |)$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Этап 5.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.3

Чтобы записать $- \ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.4

Объединим $- \ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Этап 5.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ в виде $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Этап 5.10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.11

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Упростим $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.11.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.11.1.1.3

Упростим $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 5.11.1.1.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Этап 5.11.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Этап 5.11.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.11.1.4

Применим правило умножения к $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.11.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.11.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.11.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.11.1.5.2

Упростим.

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.11.1.6

Перемножим экспоненты в ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Этап 5.11.1.6.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Этап 5.12

Разделим каждый член $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Разделим каждый член $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 5.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 5.12.2.2

Разделим $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ на $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Этап 5.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Этап 5.12.3.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Этап 5.13

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Этап 5.14

Перепишем $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.15

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.15.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Этап 5.15.2

Умножим обе части на ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.15.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.15.3.1

Сократим общий множитель ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.15.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.15.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$