Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2} y$ по $y$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 x + 3 y^{2}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x = 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} + y^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} + y^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - (2 x)}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x - 2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 0}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $3 x^{2} + 3 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (y^{2})$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 3 d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int 3 d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{3 x + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{3 x} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}$ на $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y + 2 x y + y^{3}) e^{3 x} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} + y^{2}$ на $e^{3 x}$ .

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} + y^{2}) e^{3 x} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}) d x + (x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} e^{3 x} + y^{2} e^{3 x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{2} e^{3 x} d y + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + \int y^{2} e^{3 x} d y$

Этап 8.3

Поскольку $e^{3 x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $e^{3 x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} \int y^{2} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + C + e^{3 x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} e^{3 x} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$y (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$y (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.3.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} e^{3 x} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.2

Объединим $\frac{e^{3 x}}{3}$ и $y^{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.3

Поскольку $\frac{y^{3}}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{3 x} y^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.7

Умножим $3$ на $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{y^{3}}{3} (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.9

Объединим $3$ и $\frac{y^{3}}{3}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3}}{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.10

Объединим $\frac{3 y^{3}}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.11.1

Сократим общий множитель.

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{3 y^{3} e^{3 x}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.4.11.2

Разделим $y^{3} e^{3 x}$ на $1$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x^{2} (3 e^{3 x})) + y (e^{3 x} (2 x)) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.6.2

Избавимся от скобок.

$y x^{2} (3 e^{3 x}) + y e^{3 x} (2 x) + y^{3} e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 11.6.4

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} x^{2} y + 2 e^{3 x} x y + e^{3 x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 x^{2} y e^{3 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x}$

Этап 12.1.2

Вычтем $2 x y e^{3 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{3 x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x}$

Этап 12.1.3

Вычтем $y^{3} e^{3 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Этап 12.1.4

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y e^{3 x} + 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 3 x^{2} y e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Вычтем $3 x^{2} y e^{3 x}$ из $3 x^{2} y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} + 0 - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Этап 12.1.4.2

Добавим $2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{3 x} + y^{3} e^{3 x} - 2 x y e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Этап 12.1.4.3

Вычтем $2 x y e^{3 x}$ из $2 x y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} + 0 - y^{3} e^{3 x}$

Этап 12.1.4.4

Добавим $y^{3} e^{3 x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{3 x} - y^{3} e^{3 x}$

Этап 12.1.4.5

Вычтем $y^{3} e^{3 x}$ из $y^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{1}{3} e^{3 x} y^{3} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x}}{3} y^{3} + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{e^{3 x}}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x^{2} e^{3 x} y + \frac{e^{3 x} y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{3 x} + \frac{y^{3} e^{3 x}}{3} + C$