Математический анализ Примеры

$\frac{d p}{d t} + 2 t p = p + 4 t - 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 t p$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d p}{d t} = p + 4 t - 2 - 2 t p$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d p}{d t} = - 2 p t + p + 4 t - 2$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d p}{d t} = (- 2 p t + p) + 4 t - 2$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d p}{d t} = p (- 2 t + 1) - 2 (- 2 t + 1)$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 t + 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (- 2 t + 1) (p - 2)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{p - 2}$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((- 2 t + 1) (p - 2))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $p - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $p - 2$ из $(- 2 t + 1) (p - 2)$ .

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p - 2} ((p - 2) (- 2 t + 1))$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{p - 2} \frac{d p}{d t} = - 2 t + 1$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{p - 2} d p = (- 2 t + 1) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{p - 2} d p = \int - 2 t + 1 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = p - 2$ . Тогда $d u = d p$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = p - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d p}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $p - 2$ .

$\frac{d}{d p} [p - 2]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $p - 2$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [- 2]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $p$ , производная $- 2$ относительно $p$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 2 t + 1 d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $p - 2$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t + 1 d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = \int - 2 t d t + \int d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 \int t d t + \int d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\ln (| p - 2 |) + C_{1} = - t^{2} + t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$

Этап 3

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $p$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| p - 2 |)} = e^{- t^{2} + t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| p - 2 |) = - t^{2} + t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- t^{2} + t + C} = | p - 2 |$

Этап 3.3

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$ .

$| p - 2 | = e^{- t^{2} + t + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$p - 2 = \pm e^{- t^{2} + t + C}$

Этап 3.3.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$p = \pm e^{- t^{2} + t + C} + 2$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- t^{2} + t + C}$ в виде $e^{- t^{2} + t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{- t^{2} + t} e^{C} + 2$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- t^{2} + t}$ и $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{- t^{2} + t} + 2$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$p = C e^{- t^{2} + t} + 2$