Математический анализ Примеры

$(1 + x) d y - y d x = 0$

Этап 1

Добавим $y d x$ к обеим частям уравнения.

$(1 + x) d y = y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x)} y d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x |) = C$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x |}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Умножим обе части на $| 1 + x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

Этап 5.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель $| 1 + x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

Этап 5.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} | 1 + x |$

Этап 5.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | 1 + x |$ .

$| y | = | 1 + x | e^{C}$

Этап 5.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x | e^{C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | 1 + x | C$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | 1 + x |$