Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Развернем $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.7

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.8

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.9

Умножим $1$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.10

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.12

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.15

Вычтем $2$ из $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.16

Умножим $x$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.19

Вычтем $2$ из $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.20

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.21

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.22

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.24

Добавим $1$ и $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.25

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

Этап 2.3.3.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

Этап 2.3.3.27

Вычтем $2$ из $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

Этап 2.3.3.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.3.3.29

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

Этап 2.3.3.30

Добавим $- x^{- 1}$ и $x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

Этап 2.3.3.31

Вычтем $1$ из $0$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$