Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt{t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = k \sqrt{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int k \sqrt{t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int k \sqrt{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $k$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $k$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = k \int \sqrt{t} d t$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $k$ и $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Перенесем $2$ влево от $k$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot k}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Объединим $\frac{2 k}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 k t^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{2}{3} k t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + K$