Математический анализ Примеры

$(x - y) d x + x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Этап 1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x - y) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x - y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x - y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x - y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - y}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{1}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{y}{x} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y}{x}$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{x - y}{x^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x - y}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} - \frac{x - y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - (x - y)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x - - y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x + 1 y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x + y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- y - x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + \ln (| x |) + C$