Математический анализ Примеры

$(1 + y^{2} + x y^{2}) d x + (x^{2} y + y + 2 x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y^{2} + x y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $1 + y^{2} + x y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{2}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + x (2 y)$

Этап 1.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 2 x y$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 2 x y$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} y + y + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + y + 2 x y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} y + y + 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0 + 2 y$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 y x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 y$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x y + 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x y + 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x y + 2 y = 2 x y + 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + y^{2} + x y^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 1 + y^{2} + x y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int d x + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x + C + \int y^{2} d x + \int x y^{2} d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + \int x y^{2} d x$

Этап 5.4

Поскольку $y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} \int x d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + C + y^{2} x + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.3

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x y + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.5

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.6

Объединим $\frac{2 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + 2 x y + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.4.7.2

Разделим $x^{2} y$ на $1$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $0$ и $2 x y$ .

$2 x y + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y$

Этап 9.1.2

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} y + y + 2 x y - 2 x y - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y + 0 - x^{2} y$

Этап 9.1.3.2

Добавим $x^{2} y + y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y - x^{2} y$

Этап 9.1.3.3

Вычтем $x^{2} y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Этап 9.1.3.4

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Этап 10

Найдем первообразную $y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x + y^{2} x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.2

Добавим $y^{2} x$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $x y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.2.3

Объединим $x y^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} \cdot 2 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.3.1.2

Умножим на $1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Этап 12.3.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Этап 12.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = x + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Этап 12.4

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Этап 12.5

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Этап 12.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2 + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Этап 12.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot x + y^{2} (2 x + 1)}{2} + C$

Этап 12.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Этап 12.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2} \cdot 1}{2} + C$

Этап 12.7.4

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$

Этап 12.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} + 2 x + 2 y^{2} x + y^{2}}{2} + C$