Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2}}{4} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Объединим.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.6

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.7

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.8.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{2} K}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $\frac{x^{2} K}{8}$ и $\frac{K x^{2}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{K x^{2}}{8}$ и $\frac{K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4}}{16} + 2 \frac{K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$