Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $8 y$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Этап 1.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Этап 1.3

Вычтем $8 y$ из $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Этап 2

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 2.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Этап 6.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Этап 6.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Этап 6.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Этап 6.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Этап 6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Этап 6.6.2

Упростим.

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.3.2

Разделим $- 6$ на $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$