Математический анализ Примеры

$e^{y} d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $e^{y} d x$ из обеих частей уравнения.

$(x + 1) d y = - e^{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x + 1) e^{y}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) e^{y}} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) e^{y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (e^{y})} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + 1) e^{y}} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{1}{(x + 1) e^{y}} (- e^{y}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{e^{y}} d y = - \frac{1}{(x + 1) e^{y}} e^{y} d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x + 1) e^{y}}$ в числитель.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{(x + 1) e^{y}} e^{y} d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $(x + 1) e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{e^{y} (x + 1)} e^{y} d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{e^{y} (x + 1)} e^{y} d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{y}} d y = \frac{- 1}{x + 1} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{e^{y}} d y = - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 4.2.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$- e^{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- e^{- y} + C_{1} = - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$- e^{- y} + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = - \ln (| x + 1 |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $e^{- y}$ на $1$ .

$e^{- y} = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$e^{- y} = \frac{\ln (| x + 1 |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.2

Разделим $\ln (| x + 1 |)$ на $1$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) - 1 \cdot C$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$e^{- y} = \ln (| x + 1 |) - C$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- y}) = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{- y})$ , вынося $- y$ из логарифма.

$- y \ln (e) = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- y = \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Этап 5.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (\ln (| x + 1 |) - C)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 5.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ в виде $- \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$ .

$y = - \ln (\ln (| x + 1 |) - C)$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \ln (\ln (| x + 1 |) + C)$