Математический анализ Примеры

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y^{3} d x$ из обеих частей уравнения.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $(y + 1) e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{y^{3}}$ на $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ в числитель.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $x y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 1}{e^{- x}}$ и $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $y$ на $y^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.3.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.3.2

Умножим $y^{- 3}$ на $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.5

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.6

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.7

Упростим.

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.2.8

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

Этап 4.3.2.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

Этап 4.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 4.3.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

Этап 4.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$