Математический анализ Примеры

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(1 - \ln (x)) d y$ из обеих частей уравнения.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 2.2.3

Поскольку $\ln (x)$ является константой относительно $y$ , производная $\ln (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y}{x}$ по $y$ равна $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Этап 2.4.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (1 - \ln (x))$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.6.2

Умножим $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{x}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Этап 6

Проинтегрируем $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Этап 6.2

Перепишем $- (1 - \ln (x)) y + C$ в виде $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(- 1 + \ln (x)) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3.2

По правилу суммы производная $- 1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3.5

Добавим $0$ и $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.3.6

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Вычтем $\ln (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Этап 10.1.1.2

Вычтем $\frac{y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Этап 10.1.1.3

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.3.1

Вычтем $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Этап 10.1.1.3.2

Добавим $\frac{d g}{d x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Этап 10.1.2

Добавим $\ln (x)$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Этап 11

Найдем первообразную $1 + \ln (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Этап 11.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Этап 11.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Этап 11.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 11.6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 11.6.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Этап 11.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Этап 11.8

Упростим.

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Этап 11.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Этап 11.9.2

Добавим $\ln (x) x$ и $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Этап 13

Упростим $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Этап 13.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Этап 13.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$