Математический анализ Примеры

$y d x = 2 (x + y) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 (x + y) d y$ из обеих частей уравнения.

$y d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Этап 3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 (x + y)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Этап 3.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 2$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 - 1}{y}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{- 3}{y}$

Этап 5.3.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y d x - 2 (x + y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$y \frac{1}{y^{3}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- 2 (x + y)$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x - 2 (x + y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2}} d x + (- 2 x - 2 y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $- 2 x - 2 y$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{- 2 x - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) - 2 y}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x) + 2 (- y)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- x - y)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - y)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x) - (y))}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.10

Перепишем $- (x + y)$ в виде $- 1 (x + y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 (- 1 (x + y))}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} d x - \frac{2 (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{2}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} x + C$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{y^{2}}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}} + g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{y^{2}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y^{2}}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 2 \frac{1}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (- \frac{2}{y^{3}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{y^{3}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} = - \frac{2 (x + y)}{y^{3}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{2 (x + y)}{y^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 (x + y)}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x + 2 x + 2 y}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.6

Сократим общий множитель $y$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y^{3}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot 2}{y \cdot y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{2}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{2}{y^{2}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Этап 14.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 14.6

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 14.7

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 14.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Этап 14.8

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Этап 14.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1

Перепишем $- 2 (- y^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 14.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Этап 14.9.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{2}} + \frac{2}{y} + C$