Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x} d x - \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{x} d x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Вычтем $\ln (| x |)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

Этап 3.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

Этап 3.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

Этап 3.8.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Этап 3.8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{- C} | x |$

Этап 3.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- C}$

Этап 3.8.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | x | C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x |$