Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

Этап 1.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $y^{5}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Этап 1.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Этап 1.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

Этап 1.3.5

Умножим $\frac{x - 1}{x^{2}}$ на $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $2 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $2 y^{2} - 1$ из $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

Этап 1.3.7

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $(x - 1) y^{4}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{3}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перенесем $y^{- 4}$ .

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.1.3

Добавим $- 4$ и $2$ .

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $- 1 y^{- 4}$ в виде $- y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.8

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.1

Объединим $y^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.1.2

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.2

Упростим.

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9.3.5

Умножим $\frac{1}{3 y^{3}}$ на $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $(x - 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем $- 1 x^{- 2}$ в виде $- x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

Этап 2.3.8.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$