Математический анализ Примеры

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $6 x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y + 9 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.3.2

Разделим $4 + 9 y$ на $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Этап 3.5

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $9$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим.

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.5.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Этап 4.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Этап 4.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 4.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ в виде $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 4.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{9}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Этап 5.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Этап 5.2.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Этап 5.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 5.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Этап 5.3.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Этап 5.3.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Этап 5.3.3

Перенесем $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Этап 5.3.4

Изменим порядок $9 y^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 9$ , $b = 8$ и $c = 6 x^{2} - 2 K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.4

Умножим $6$ на $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.5

Умножим $- 2$ на $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.6

Вынесем множитель $8$ из $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.6.1

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.6.2

Вынесем множитель $8$ из $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.6.3

Вынесем множитель $8$ из $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.6.4

Вынесем множитель $8$ из $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.6.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.7

Перепишем $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.7.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.7.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$