Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\csc (y)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $\csc (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\csc (y)}$ в числитель.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Этап 2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \cos (y) = - t + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = - t + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = - t + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\cos (y) = t - K$

Этап 3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (t - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \arccos (t + K)$