Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{1 - y^{2}}$ из $x \sqrt{1 - y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ по $y$ имеет вид $\arcsin (y)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$