Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} = x y^{3}

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на

\frac{1}{y^{3}}

$\frac{1}{y^{3}}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель

y^{3}

$y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель

y^{3}

$y^{3}$ из

x y^{3}

$x y^{3}$ .

\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем

$y^{3}$ из знаменателя, возведя в

$- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в

${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл

$y^{- 3}$ по

$y$ имеет вид

$- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим

$\frac{1}{y^{2}}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем

$2$ влево от

$y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл

$x$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

$K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как

$2 y^{2}, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части

$2, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной

$y^{2}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку

$2$ не имеет множителей, кроме

$1$ и

$2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Число

$1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК

$2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.7

Множители

$y^{2}$ —

$y \cdot y$ , то есть

$y$ , умноженный сам на себя

$2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается

$2$ раз.

Этап 3.2.8

НОК

$y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 3.2.9

Умножим

$y$ на

$y$ .

$y^{2}$

Этап 3.2.10

НОК

$2 y^{2}, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части

$2$ и переменной части.

$2 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ умножим на

$2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ на

$2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель

$2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель

$y^{2}$ из

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель

$y^{2}$ из

$x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель

$y^{2}$ из

$2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель

$y^{2}$ из

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ на

$x^{2} + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ на

$x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель

$x^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим

$y^{2}$ на

$1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$