Математический анализ Примеры

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Этап 2.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.5.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.6

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Этап 2.3.9

Перепишем $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ в виде $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$