Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - V$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - V$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = - V - V$

Этап 5.1.1.1.2

Вычтем $V$ из $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - 2 V$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - 2 V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{x}$

Этап 5.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{x}$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{x})$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{V}$ в числитель.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{x}$

Этап 5.1.3.2.2

Вынесем множитель $V$ из $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Этап 5.1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{x}$

Этап 5.1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d x} = - \frac{2}{x}$

Этап 5.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2.2

Интеграл $\frac{1}{V}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 5.2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 5.2.3.5

Упростим.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Этап 5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| x |) = C$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $\ln (| V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| V |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Этап 5.3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| V |) + \ln (x^{2}) = C$

Этап 5.3.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | x^{2}) = C$

Этап 5.3.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | V |) = C$

Этап 5.3.3

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} | V |)} = e^{C}$

Этап 5.3.4

Перепишем $\ln (x^{2} | V |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | V |$

Этап 5.3.5

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} | V | = e^{C}$ .

$x^{2} | V | = e^{C}$

Этап 5.3.5.2

Разделим каждый член $x^{2} | V | = e^{C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Разделим каждый член $x^{2} | V | = e^{C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} | V |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.5.2.2.1.2

Разделим $| V |$ на $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.3.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = C \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$

Этап 7

Решим $\frac{y}{x} = C \frac{1}{x^{2}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = C (\frac{1}{x^{2}}) x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $C (\frac{1}{x^{2}}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Объединим $C$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = \frac{C}{x^{2}} x$

Этап 7.2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{C}{x \cdot x} x$

Этап 7.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{C}{x}$