Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Этап 1.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Этап 1.4

Перепишем $- x^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5

Упростим.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$