Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\sec (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\sin (y) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C)$