Математический анализ Примеры

$3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ на $3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ на $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{3 x}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Этап 1.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{2} + K$