Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

Этап 1

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

Этап 6.1.1.2.2

Объединим противоположные члены в $V + \frac{1}{V} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

Этап 6.1.1.2.2.2

Добавим $\frac{1}{V}$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Умножим $\frac{1}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{1}{V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V x$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $V$ по $V$ имеет вид $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 6.3.3

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Этап 6.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Этап 6.3.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 6.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 6.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 6.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Этап 9.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Этап 10

Перечислим решения.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$