Математический анализ Примеры

$\frac{d z}{d x} = \frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} (\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} \frac{d z}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + 1} d z = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4}{2 z - 1} + \frac{2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{\frac{z + 4 + 2 z - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Этап 2.2.1.3

Добавим $z$ и $2 z$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 4 - 1}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Этап 2.2.1.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 z + 3}{2 z - 1}} d z = \int d x$

Этап 2.2.1.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 z + 3}{2 z - 1}$ .

$\int 1 \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.1.6

Умножим $\frac{2 z - 1}{3 z + 3}$ на $1$ .

$\int \frac{2 z - 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим $2 z - 1$ на $3 z + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 z$

$3$

$2 z$

$1$

Этап 2.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 z$ на член с максимальной степенью в делителе $3 z$ .

					$\frac{2}{3}$
	$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$

Этап 2.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			+	$2 z$	+	$2$

Этап 2.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 z + 2$ .

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$

Этап 2.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{2}{3}$
$3 z$	+	$3$		$2 z$	-	$1$
			-	$2 z$	-	$2$
					-	$3$

Этап 2.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{2}{3} - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3}{3 z + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $3$ и $3 z + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 z + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 z$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3} d z = \int d x$

Этап 2.2.4.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z) + 3 (1)} d z = \int d x$

Этап 2.2.4.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (z) + 3 (1)$ .

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Этап 2.2.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{3 \cdot 1}{3 (z + 1)} d z = \int d x$

Этап 2.2.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2}{3} d z + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} z + C_{1} + \int - \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{z + 1} d z = \int d x$

Этап 2.2.7

Пусть $u = z + 1$ . Тогда $d u = d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Пусть $u = z + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Дифференцируем $z + 1$ .

$\frac{d}{d z} [z + 1]$

Этап 2.2.7.1.2

По правилу суммы производная $z + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 2.2.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 2.2.7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{2}{3} z + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

$\frac{2}{3} z - \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $z + 1$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{2}{3} z - \ln (| z + 1 |) = x + C$