Математический анализ Примеры

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.3.4

Умножим $\arctan (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.4

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$