Математический анализ Примеры

$3 y - x \frac{d y}{d x} = 6$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- x \frac{d y}{d x} = 6 - 3 y$ на $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{- x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{- 3 y}{- x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{x} + \frac{3 y}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 + 3 y}{x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot - 2 + 3 y}{x}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 2 + 3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot (- 2 + y)}{x}$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 2 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{- 2 + y}$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{3 (- 2 + y)}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $- 2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $- 2 + y$ из $3 (- 2 + y)$ .

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 2 + y} \cdot \frac{(- 2 + y) \cdot 3}{x}$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- 2 + y} d y = \frac{3}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- 2 + y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - 2 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - 2 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $- 2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $- 2 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 + y$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| - 2 + y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| - 2 + y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| - 2 + y |) - 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| - 2 + y |) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| - 2 + y |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| - 2 + y | = e^{C} {| x |}^{3}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} {| x |}^{3}$ .

$| - 2 + y | = {| x |}^{3} e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- 2 + y = \pm {| x |}^{3} e^{C}$

Этап 3.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm {| x |}^{3} e^{C}$ .

$- 2 + y = \pm e^{C} {| x |}^{3}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{3} + 2$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C {| x |}^{3} + 2$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| x |}^{3} + 2$