Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Этап 1

Определим $f (t, y)$ так, чтобы $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Этап 2

Найдем $f (0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $0$ вместо $t$ , а $1$ вместо $y$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим $e$ приближением.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Этап 2.2.2

Возведем $2.71828182$ в степень $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Этап 3

Используя рекурсивную формулу $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ , найдем $y_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $0.5$ на $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Этап 3.2.2

Добавим $1$ и $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Этап 4

Используя рекурсивную формулу $t_{1} = t_{0} + h$ , найдем $t_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Этап 5

Найдем $f (0.5, 1.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0.5$ вместо $t$ , а $1.5$ вместо $y$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим $e$ приближением.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Этап 5.2.2

Возведем $2.71828182$ в степень $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Этап 6

Используя рекурсивную формулу $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ , найдем $y_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $0.5$ на $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Этап 6.2.2

Добавим $1.5$ и $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Этап 7

Используя рекурсивную формулу $t_{2} = t_{1} + h$ , найдем $t_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Этап 7.2

Добавим $0.5$ и $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Этап 8

Продолжим таким же образом до приближения к желаемым значениям.

Этап 9

Перечислим приблизительные значения в таблице.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$