Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $e^{x}$ и $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 6.3

Изменим порядок $e^{x}$ и $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Этап 6.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Этап 6.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6.2

Умножим $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 6.7

Найдя решение для $\int e^{x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Этап 6.8

Перепишем $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.2.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{2}$ и $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Этап 7.1.3.2

Объединим $e^{x}$ и $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Этап 7.1.4

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.2

Объединим.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ в числитель.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$