Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 60 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 60 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$15 u^{2} - 60 u = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2} - 60 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 60 u = 0$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $- 60 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (u) + 15 u (- 4)$ .

$15 u (u - 4) = 0$

Этап 5.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} - 4$ к $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 5.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.5.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 2, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 2, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $60$ на $0$ .

$0 - 120 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Умножим $- 120$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $15 x^{4} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $15$ на $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 60$ на $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 960$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $960$ из $3840$ .

$f' (- 4) = 2880$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $2880$ .

$2880$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 1$ , из интервала $(- 2, 0)$ в первую производную $15 x^{4} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $15$ на $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 60$ на $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $60$ из $15$ .

$f' (- 1) = - 45$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 45$ .

$- 45$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, 2)$ в первую производную $15 x^{4} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $15$ на $1$ .

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 60$ на $1$ .

$f' (1) = 15 - 60$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $60$ из $15$ .

$f' (1) = - 45$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 45$ .

$- 45$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $15 x^{4} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $15$ на $256$ .

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $- 60$ на $16$ .

$f' (4) = 3840 - 960$

Этап 10.5.2.2

Вычтем $960$ из $3840$ .

$f' (4) = 2880$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $2880$ .

$2880$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 2$ , $x = - 2$ — локальный максимум.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 2$ , $x = 2$ — локальный минимум.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ .

$x = - 2$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

$x = - 2$ — локальный максимум

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11