Математический анализ Примеры

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 4}$ в виде ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = x y + 8$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 8)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.3

Перенесем ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11.2

Умножим $\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$

Этап 3.13

Изменим порядок членов.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x y + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x y' + y + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $x y' + y$ и $0$ .

$x y' + y$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ и $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.2

Умножим ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Перенесем ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{1} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.3

Упростим $2 {(x + 4)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{(2 x + 8) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.1.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $x y'$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' = y$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- x y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Этап 6.2.3

Объединим $- x y'$ и $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Этап 6.3

Умножим обе части на $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим $\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3

Сократим общий множитель ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.4.1

Перенесем $x$ .

$2 y' x + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.4.2

Перенесем $x$ .

$2 y' x + 8 y' + y - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.1.1.4.3

Перенесем $y$ .

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x$ .

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $8 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.2.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 2 y' \cdot 4$ .

$2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.2.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (x + 4 - 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 y' (x + 4 - x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.4

Изменим порядок членов.

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Этап 6.5.5

Разделим каждый член $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ на $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Разделим каждый член $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ на $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ .

$\frac{2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.2.6

Сократим общий множитель.

Этап 6.5.5.2.2.7

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.2.3

Сократим общий множитель.

Этап 6.5.5.2.4

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8}$

Этап 6.5.5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8}$

Этап 6.5.5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 2 \cdot 4}$

Этап 6.5.5.3.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4}$

Этап 6.5.5.3.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}$

Этап 6.5.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x + 4)}$

Этап 6.5.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 4)}$

Этап 6.5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) + 4)}$

Этап 6.5.5.3.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4))}$

Этап 6.5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

Этап 6.5.5.3.9

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.3.9.1

Перепишем $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ в виде $- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

Этап 6.5.5.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$