Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 10)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 10$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 10) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 10)) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + (x - 10) \cdot 1) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $x - 10$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x + x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.4.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 u \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - x (x - 10) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x - 5)}^{2} (2 x - 10)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) - 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.6.2.2

Вынесем множитель $x - 5$ из $- 2 x (x - 10) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.6.2.3

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10)) + (x - 5) (- 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) ((x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10) \cdot 1}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.11.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x (x - 10)}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x - 5) (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Развернем $(x - 5) (2 x - 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 10) - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x - 10) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 10 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.1.3

Перенесем $- 10$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 \cdot x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 10 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.1.5

Умножим $- 5$ на $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 10 x - 10 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.2.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.1.4

Умножим $- 10$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 20 x + 50 - 2 x^{2} + 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 0 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.2.2

Добавим $- 20 x + 50$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 50 + 20 x}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.2.3

Добавим $- 20 x$ и $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2.12.2.2.4

Добавим $0$ и $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 10 x}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 10}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 10$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 10) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 10) = 0$ верно.

$x = 0, 10$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 10)}{{(x - 5)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 10$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{50}{{((0) - 5)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{50}{{(- 5)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{50}{- 125}$

Этап 9.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $50$ и $- 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$\frac{25 (2)}{- 125}$

Этап 9.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Этап 9.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot - 5}$

Этап 9.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- 5}$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{5}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 5}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 5}$

Этап 11.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 5}$

Этап 11.2.3

Разделим $0$ на $- 5$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 10$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{50}{{((10) - 5)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $5$ из $10$ .

$\frac{50}{5^{3}}$

Этап 13.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{50}{125}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $50$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$\frac{25 (2)}{125}$

Этап 13.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Этап 13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Этап 13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5}$

Этап 14

$x = 10$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 10$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = \frac{{(10)}^{2}}{(10) - 5}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (10) = \frac{100}{10 - 5}$

Этап 15.2.2

Вычтем $5$ из $10$ .

$f (10) = \frac{100}{5}$

Этап 15.2.3

Разделим $100$ на $5$ .

$f (10) = 20$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $20$ .

$y = 20$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 5}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(10, 20)$ — локальный минимум

Этап 17