Математический анализ Примеры

$\arctan (- \frac{x}{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим ${(\frac{x}{2})}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Этап 3.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 3.3.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

Этап 3.6

Умножим $\frac{2}{4 + x^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$