Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.5

Внесем предел под знак радикала.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 5.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{1})$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3$