Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{13 - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $13$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2}}{h^{2}} - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Этап 1.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2}}{h^{2}} - \frac{6}{h^{2}}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2} - 6}{h^{2}}}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{h^{2}} \cdot \frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}$ на $\frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $h^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{5 h^{2} - 6}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Этап 5

Вынесем член $13$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{13 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Этап 7

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Этап 9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Этап 11

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 12.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{13 \cdot 0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.2

Умножим $13$ на $0$ .

$\frac{0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.3

Вычтем $π$ из $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- π}{0 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- π}{0 - 6}$

Этап 13.2.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$\frac{- π}{- 6}$

Этап 13.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{π}{6}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{6}$

Десятичная форма:

$0.52359877 \dots$