Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 2

Поскольку производная $\sec (θ)$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ , интеграл $\sec (θ) \tan (θ)$ равен $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\sec (θ)$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)$

Этап 3.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 1$

Этап 3.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 1$

Этап 3.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - 1$

Этап 3.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - 1$

Этап 3.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 1$

Этап 3.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 1$

Этап 3.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Этап 3.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Этап 3.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Этап 3.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Этап 3.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - 1$

Этап 3.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Десятичная форма:

$0.15470053 \dots$