Математический анализ Примеры

$\int 13 z^{3} e^{z} d z$

Этап 1

Поскольку $13$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$13 \int z^{3} e^{z} d z$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = z^{3}$ и $d v = e^{z}$ .

$13 (z^{3} e^{z} - \int e^{z} (3 z^{2}) d z)$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$13 (z^{3} e^{z} - (3 \int e^{z} (z^{2}) d z))$

Этап 4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 \int e^{z} (z^{2}) d z)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = z^{2}$ и $d v = e^{z}$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - \int e^{z} (2 z) d z))$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - (2 \int e^{z} (z) d z)))$

Этап 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 \int e^{z} (z) d z))$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = z$ и $d v = e^{z}$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - \int e^{z} d z)))$

Этап 9

Интеграл $e^{z}$ по $z$ имеет вид $e^{z}$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C))))$

Этап 10

Перепишем $13 (z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C))))$ в виде $13 (z^{3} e^{z} - 3 z^{2} e^{z} + 6 z e^{z} - 6 e^{z}) + C$ .

$13 (z^{3} e^{z} - 3 z^{2} e^{z} + 6 z e^{z} - 6 e^{z}) + C$