Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ в виде ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.6.2.2

Перенесем ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Этап 4.6.3

По правилу суммы производная $1 + \tan^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Этап 4.6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Этап 4.6.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Этап 4.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 4.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 4.8.2

Объединим $\tan (x)$ и $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.8.3

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.8.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.8.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4.9

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

Этап 4.10

Объединим $\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.2

Переставляем члены.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1

Перемножим экспоненты в ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.11.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.11.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

Этап 4.11.4.2

Упростим.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

Этап 4.11.5

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x)$ и $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.5.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

Этап 4.11.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Этап 4.11.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Этап 4.11.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

Этап 4.11.5.2.4

Разделим $\sec (x) \tan (x)$ на $1$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$