Математический анализ Примеры

$x^{2} - y^{2} = 16$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $16$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(4)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 16}$

Этап 5.3.3

Добавим $16$ и $16$ .

$\sqrt{32}$

Этап 5.3.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$4 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(4, 0), (- 4, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(4)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 16}}{4}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{32}}{4}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{4}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{2})}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 9.3.4.2.4

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 11

Упростим $1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1 \cdot x$ и $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 11.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим $- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- 1 \cdot x$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 12.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(4, 0), (- 4, 0)$

Фокусы: $(4 \sqrt{2}, 0), (- 4 \sqrt{2}, 0)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $2 \sqrt{2}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x$

Этап 15