Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} - 8}{8 x} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int \frac{x^{2} - 8}{x} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2} - 8$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$8$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$8$

Этап 2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{8} \int x - \frac{8}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{8} (\int x d x + \int - \frac{8}{x} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{8}{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{8}{x} d x)$

Этап 6

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - (8 \int \frac{1}{x} d x))$

Этап 7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 8 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 8 (\ln (| x |) + C))$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} x^{2} - 8 \ln (| x |)) + C$