Математический анализ Примеры

$y = \frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{6}{5} - \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{5}] + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{6}{5}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{6}{5}$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{6}{5} e^{- 20 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{6}{5}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{6}{5} e^{- 20 t}$ по $t$ равна $- \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$ .

$0 - \frac{6}{5} \frac{d}{d t} [e^{- 20 t}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - 20 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{u} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 20 t$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \frac{d}{d t} [- 20 t])$

Этап 2.3

Поскольку $- 20$ является константой относительно $t$ , производная $- 20 t$ по $t$ равна $- 20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} (- 20 \cdot 1))$

Этап 2.5

Умножим $- 20$ на $1$ .

$0 - \frac{6}{5} (e^{- 20 t} \cdot - 20)$

Этап 2.6

Перенесем $- 20$ влево от $e^{- 20 t}$ .

$0 - \frac{6}{5} (- 20 \cdot e^{- 20 t})$

Этап 2.7

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$0 + 20 (\frac{6}{5}) e^{- 20 t}$

Этап 2.8

Объединим $20$ и $\frac{6}{5}$ .

$0 + \frac{20 \cdot 6}{5} e^{- 20 t}$

Этап 2.9

Умножим $20$ на $6$ .

$0 + \frac{120}{5} e^{- 20 t}$

Этап 2.10

Объединим $\frac{120}{5}$ и $e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{120 e^{- 20 t}}{5}$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $120$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $5$ из $120 e^{- 20 t}$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5}$

Этап 2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 (1)}$

Этап 2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{5 (24 e^{- 20 t})}{5 \cdot 1}$

Этап 2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{24 e^{- 20 t}}{1}$

Этап 2.11.2.4

Разделим $24 e^{- 20 t}$ на $1$ .

$0 + 24 e^{- 20 t}$

Этап 3

Добавим $0$ и $24 e^{- 20 t}$ .

$24 e^{- 20 t}$