Математический анализ Примеры

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \ln (x^{2} y^{2})$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ и $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Этап 2.9

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Объединим $2$ и $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.4

Объединим $y$ и $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.5

Объединим $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ и $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.6

Перенесем $14$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.7

Перенесем $14$ влево от $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.8

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.8.1

Вынесем множитель $y$ из $14 y x^{2} y'$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.8.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.9

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Этап 2.10.2.10

Объединим $2$ и $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 2.10.2.11

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Этап 2.10.2.12

Объединим $y^{2}$ и $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Этап 2.10.2.13

Объединим $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ и $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Этап 2.10.2.14

Перенесем $14$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Этап 2.10.2.15

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Этап 2.10.2.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Этап 2.10.2.16

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.16.1

Вынесем множитель $x$ из $14 x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Этап 2.10.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.16.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Этап 2.10.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Этап 2.10.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Этап 3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{14}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $- \frac{14}{x} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Объединим $y$ и $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Этап 5.3.2.1.2

Перенесем $14$ влево от $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ на $14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ на $14$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Этап 5.4.3.2

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{14 y}{x}$ в числитель.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $14$ из $- 14 y$ .

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Этап 5.4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Этап 5.4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{x}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$