Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $x'$ из $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Вынесем множитель $x'$ из $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2.1.2

Вынесем множитель $x'$ из $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2.1.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} - e^{x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 3.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 3.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Этап 3.6.3.2.4

Разделим $x' e^{- x} (1 - x)$ на $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Этап 3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Этап 3.6.5

Умножим $x'$ на $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Этап 3.6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Этап 3.6.7

Изменим порядок множителей в $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x' e^{- x}$ из $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x' e^{- x}$ из $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x' e^{- x}$ из $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x' e^{- x}$ из $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ на $e^{- x} (1 - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ на $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$